1.1  Joukko-oppilisia käsitteitä Joukolatarkoitetaan tiettyjen asioiden, esineiden lukujen jne. yhdelmää. Mainittuja joukon jäseniä sanotaan sen alkioksi tai elementeiksi. Alkioiden määrä voi olla äärellinen tai äretön. Joukkoa, jossa ei ole yhtään alkiota, sanotaan tyhjäksi joukoksi?. Joukon ilmaiseminen voi tapahtua eri tavoilla luettelemassa kaikki alkiot. Esimerkiksi nopan silmälukujen joukko A voidaan esittää muodossa A = { 1,2,3,4,5,6 } Myös voidaan käyttää merkintääA = { x| x kokonaisluku, 1 < x < 6 } Jos alkio a kuuluu joukkoon A käytetään merkintääaA Merkintä  BA Ilmaisee, että  B  ei kuulu joukkoon A Osa- ja perusjouko Jos jokainen joukon B alkio on myös joukon A alkio, joukko B on joukon A osajoukko, mikä ilmaistaan merkinnällä 1.2 Tödennäköisyyden idea SatunnaisilmiönS tapahtuman A todennäköisyydellä tarkoitetaan lukua P(A), joka ilmaisee odotettavissa olevien A:n sattumiskertojen suhteellisen osuuden S:n tapahtuessa hyvin monta kertaa. Klassisen todennäköiseyyden määrittely edellyttää, että tulosmahdollisuuksien määrä on äärellinen ja että tulosmahdollisuudet ovat symmetrisiä. Jos tapausta A vastaavien symmetristen alkeistapauksien lukumäärä on m, on todennäköisyys missän on sattunnaisilmiönS kaikkien alkeistapauksien lukumäärä.   Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteitä Tapahtumaa tai ilmiötä, jonka tuloksen määrää sattuma, kutsutaan satunnaisilmiöksi. Jos se tehdään, esimerkiksi heitetään noppaa, kutsutaan tekoa satunnaiskokeeksi.  Satunnaisilmiön mahdollisia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi ja koko alkeistapausten joukkoa perusjoukoksi. Perusjoukon osajoukkoa kutsutaan tapahtumaksi. Tapahtumaan kuuluvia alkeistapauksia kutsutaan suotuisiksi alkeistapahtumiksi.  Jos kaikki perusjoukon alkeistapaukset ovat yhtä todennäköisyyksiä, kuten lottoarvonnassa arvotut luvut, kutsutaan alkeistapauksia symmetrisiksi.  Tapahtuma, jolla ei ole yhtään suotuista alkeistapahtumaa, esimerkiksi nopan heitossa saada silmäluku 7, kutsutaan mahdottomaksi tapahtumaksi. Jos kaikki perusjoukon alkeistapaukset ovat suotuisia, tapahtumaa kutsutaan varmaksi tapahtumaksi.  TODENNÄKÖISYYS on tiheysfunktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala, eli määrätty integraali.     Harjoitustehtavia     Virheettömät arpakuutiot 1.2.1. Yhden silmäluvun todennäköisyys Kun arpakuutiota heitetään kerran, mikä on todennäköisyys, että heiton tuloksena saadaan viisi? Ratkaisu. Alkeistapauksia on kuusi ("heiton tulos 1" ,"heiton tulos 2",..) Koska arpakuutio oli virheetön, niin jokaisen alkeistapauksen todennäköisyys on 1/6 eli P({5}) = 1/6. 1.2. 2.  Kahden arpakuution heitto. Kun heitetään kahta arpakuutiota, niin mikä on todennäköisyys, että saadaan pari ?  Ratkaisu . Kahden arpanopan heitossa mahdolliset alkeistapaukset laitetaan taulukoon siten , että rivillä on toisen arpanopan alkeistapaukset ja sarakkeissa vastaavasti toisen nopan alkeistapaukset.  Alkeistapauksia on nyt 6*6=36. Suotuisia tapauksia eli sellaisia tapauksia, missä arpanoppien silmäluvut ovat samat on (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) ja (6,6) kuusi kappaletta. Todennäköisyys, että saadaan kahdella nopalla pari on siis P({pari})= 6/36 = 1/6 Pelikorttipakka. Nostetun kortin todennäköisyys 1.2.3. Pelikorttipakassa on 52 korttia, jotka on jaettu neljään maahan: hertta, pata, risti ja ruutu.  Jokaisessa maassa on kolmetoista korttia, jotka ovat numerokortit  A=1, 2,3,4,5,6,7,8,9 ja 10 sekä kolme kuvakorttia J=11, Q=12 ja K=13. Pakasta nostetaan kortti, mikä on todennäköisyys, että nostettu kortti on  a) kuningas eli K b) hertta kuningatar " Q  c) pistearvoltaan suurempi kuin 10  d) pistearvoltaan pienempi tai yhtäsuuri kuin 10  Ratkaisu Alkeistapauksia korttipakassa on 52 kappaletta. a) kuninkaita pakassa on neljä, joten P({K}) = 4/52 = 0,077  b) herttakuningatarta on yksi, joten P({ª Q }) = 1/52 = 0,019  c) pistearvoltaan suurempia kuin 10 ovat kuvakortit neljästä maasta 4*3 = 12, joten, P({>10}) = 12/52 = 0,23  d) pistearvoltaan pienempiä tai yhtäsuuria kuin 10 on edellisen tapahtuman komplementti- eli vastatapahtuma eli P({ *10}) = 1-P({>10}) = (52-12) / 52 = 40 / 52 = 1 - 0,23 = 0,77      Tilastollinen todennäköisyys 1.2.4.   Syntyvän lapsen sukupuoli. Kuinka voidaan laskea syntyvän lapsen sukupuolen todennäköisyys, kun tapahtuma ei ole symmetrinen? Ratkaisu . Syntyvän lapsen sukupuoli voitaisiin määrittää klassisen todennäköisyystulkinnan avulla. Silloin otosavaruus koostuisi kahdesta alkeistapauksesta {tyttö} ja {poika}, joiden todennäköisyydet ovat yhtäsuuret P({tyttö}) = P({poika}) = 1/2. Mutta todellisuudessa syntyvän lapsen sukupuoli ei ole symmetrinen tapahtuma, vaan poikia syntyy enemmän kuin tyttöjä - suomalaisten syntyvien lasten sukupuolijakauma on: tyttöjä noin 49% ja poikia 51%. Tällaisessa tapauksessa todennäköisyyden määrittäminen tehdään todennäköisyyden frekvenssitulkinnan avulla. Tätä tapaa kutsutaan myös tilastolliseksi todennäköisyydeksi. Suomen syntyvyystilaston mukaan syntyneiden lasten sukupuolijakaumat vuosina 1990-97 olivat (Suomen tilastollinen vuosikirja ,1998)  Yksittäisen vuoden kohdalla tyttöjen osuus vaihtelee 48,71%:sta 49,19%:een. Kun vuodet yhdistetään niin saadaan tyttöjen osuudeksi 48,98%, mikä vastaa suurten kansainvälisten tutkimusten mukaisesti syntyneiden tyttöjen osuutta eli Suomessa vuosina 1990-97 poikien syntyvyysenemyydeksi saadaan (510 851 - 250 227) : 250 227 = 260 624 / 250 227 * 1,042 eli 1 042 poikaa syntyy jokaista 1 000 tyttöä kohti.      .

Lukun-keroma on n : n ensimmäisen positiivisen kokonaisluvun tulo n! = 1*2*3*... n, N  -positiivisten kokonaiskukujen joukko. Lisäksi sopimuksen mukaan 0! = 1. N-kertomavoidaan induktiivisesti määritellä yhtälöparilla Permutaatiot JoukonE = {a1, a2, . . . an} permutaatiolla tarkoitetaan jokaista sen alkioista muodostettava järjestettyä jonoa, esimerkiksi ( an, an-1, . . . a2,a1 ). Lause: Jos joukossa on n alkiota, niiden permutaatiota on n!. Esimerkki: 3-alkiosella joukolla E = {a, b, c } on 3! = 6 permutaatiota: ( a, b, c)( a, c, b ) ( b, c, a )( b, a, c ) ( c, a, b )( c, d, a ) Variaatiot JoukonE = {a1, a2, . . . an} k : ttain muodostettuilla variaatioilla tarkoitetaanE : n järjestettyjä osajoukkoja, joissa on k alkiota. Lause: JoukonE n alkion k : ttain otettujen variaatioiden määrä on Todistus seuraa tuloperiaatteesta:1. jäsen voidaan valitan tavalla, 2. jäsen n-1 tavalla jne. Tuloksesi saadaan Kombinaatiot JoukonE = {a1, a2, . . . an} k : ttain muodostettuilla kombnaatioilla tarkoitetaanE : n josajoukkoja, joissa on k alkiota. Lause: JoukonE n alkion k : ttain otettujen kombinaatioiden lukumäärä on Todistus : k : ttain otettua kombinaatiota vastaa k !variaatiota, joten kysytty kombinatioitten määrä on vain eli binomikerroin.

Yhdiste (unioni)  Tapahtumien A ja B yhdiste (unioni)on tapahtuma, missä A tai Btai molemmat sattuu. LekkausA ja B Tapahtumien A ja B leikkau son tapahtuma, missä A ja B sattuu. Komplementti Tapahtuman A komplementti0n tapahtuma, missä A ei satu. Erotus A\ B Tapahtumien A ja B erotus A\B on tapahtuma, missä A sattuu, mutta B ei satu  Kertolasku- ja yhteenlaskusäännöt  Tapahtumia kutsutaan riippumattomiksi, jos jonkun tapahtuman todennäköisyys ei riipu toisen tapahtuman tapahtumisesta tai ei-tapahtumisesta eli toisen tapahtuman tapahtuminen ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen. Esimerkiksi kahta noppaa heitettäessä toisen silmäluku ei vaikuta siihen mikä silmäluku toiseen noppaan tulee.  Riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö  Jos tapahtumat  ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia, silloin todennäköisyys, että kaikki nämä tapahtumat tapahtuu on kunkin tapahtuman todennäköisyyksien tulo.  Yhteenlaskusääntö  Todennäköisyyslaskennan yhteenlaskusääntö on kahden tapahtuman A ja B tapauksessa                                P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A ja B). Kun tapahtumat ovat erillisiä eli tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia eli A:lla ja B:lla ei ole yhteisiä alkeistapauksia, niin poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännöksi saadaan                                   P(A tai B) = P(A) + P(B). Yleisessä muodossa yhteenlaskusääntö erillisille tapahtumille on    Harjoitustehtäviä   Tuloperiaate  1.3.1   Lasten syntymäkuukaudet Niemisen perheessä on kolme lasta, joista ketkään eivät ole keskenään kaksosia. Mikä on todennäköisyys, että  a) kaikki kolme lasta ovat syntyneet eri kuukausina  b) ainakin kaksi on syntynyt samassa kuussa ?    Ratkaisu 1.3.1. Syntymiskuukaudet muodostavat kolmen kuukauden jonon esimerkiksi tammikuu, kesäkuu, tammikuu.  Alkeistapauksiksi valitaan kaikki kolmen kuukauden jonot, joiden lukumäärät voidaan laskea tuloperiaatteella  1. kuukausi 12 vaihtoehtoa, 2. kuukausi 12 vaihtoehtoa ja 3. kuukausi 12 vaihtoehtoa. Joten jonojen lukumääräksi saadaan  a) Kun lasketaan tapahtumalle "kaikki lapset ovat syntyneet eri kuukausina" todennäköisyyttä, lasketaan suotuisten tapahtumien eli suotuisten jonojen lukumäärä samoin tuloperiaatteella  1. kuukausi 12 vaihtoehtoa,  2. kuukausi 11 vaihtoehtoa eli eri kuukautta kuin edellinen ja  3. kuukausi 10 vaihtoehtoa eli eri kuukautta kuin edelliset.  Suotuisia jonoja on siis kaikkiaan 12 * 11 * 10 = 1 320 jonoa. Todennäköisyys, että kaikki lapset ovat syntyneet eri kuukausina on siis P({kaikki lapset syntyneet eri kuukausina}) = 1 320 / 1 728 * 0,76  b) Tapahtumalle "ainakin kaksi lasta on syntynyt samassa kuussa" suotuisia tapauksia ovat ne kolmen kuukauden jonot, joissa jokin kuukausi toistuu, kuten tehtävän ratkaisun alussa olevassa esimerkissä, missä lapset olivat syntyneet tammikuussa, kesäkuussa ja tammikuussa.  Näiden suotuisien tapahtumien lukumäärä on kaikkien jonojen lukumäärästä vähennetään ne jonot, joissa kaikki lapset olivat syntyneet eri kuukausina.  Toisin sanoen tämä tapahtuma on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma, joka saadaan P({Ainakin kaksi lasta on syntynyt samassa kuussa}) = 1 - P({Kaikki lapset ovat syntyneet eri kuussa})  Toisaalta ratkaisu voidaan laskea myös suotuisten tapahtumien lukumäärällä, joita tässä tapauksessa on 123 - (12 * 11 * 10) = 1 728 - 1 320 = 408,  joten todennäköisyys, että ainakin kaksi lasta on syntynyt samassa kuussa on P({Ainakin kaksi lasta}) = 408 / 1 728 = 1 - (1 320 / 1 728) * 1 - 0,76 = 0,24  1.3.2. Vedonlyönti  Löisitkö vetoa sen puolesta, että  a) kolmea noppaa heitettäessä kaikissa nopissa olisi eri silmäluvut  b) kolmen vedetyn kortin joukossa olisi ainakin yksi kuvakortti (K, Q tai J)?  Ratkaisu 1.3.2. a) Kolmen nopan heitto  Kolmen nopan heiton silmäluvut muodostavat jonon esimerkiksi 1, 5, 3. Näitä kaikkia kolmen silmäluvun jonoja voidaan pitää alkeistapauksina. Kaikkiaan kolmen silmäluvun jonoja tulee  1. silmäluku 6 vaihtoehtoa,  2. silmäluku 6 vaihtoehtoa ja  3. silmäluku 6.vaihtoehtoa eli  kaikkiaan kolmen silmäluvun jonojen lukumääräksi tulee                        6* 6* 6 = 216.  Suotuisia alkeistapauksia ovat kolmen silmäluvun jonoista ne, joissa silmäluvut ovat erisuuria. Tällaisia jonoja on  1.silmäluku 6 vaihtoehtoa,  2.silmäluku 5 vaihtoehtoa (eri silmäluku kuin edellinen) ja  3.silmäluku 4 vaihtoehtoa (eri silmälukua kuin edelliset) eli                         6* 5* 4 = 120.  Todennäköisyys, että kaikissa kolmessa nopassa on eri silmäluku on siis                      P({kolmen nopan silmäluvut erisuuria}) = 120 : 216 * 0,56 > 0,50  eli koska todennäköisyys on suurempi kuin 0,50 kannattaa lyödä kolmen eri suuren silmäluvun puolesta vetoa.  b) Kolmen korttia muodostavat jonoa voidaan pitää alkeistapauksena.  Vastaavasti kuten a)-kohdassa näitä alkeistapauksia on kaikkiaan                             13* 13* 13 = 2 197.  Suotuisia tapauksia tapahtumalle, että kaikki kolme korttia ovat muita kuin kuvakortteja on                              10* 10* 10 = 1 000.  Todennäköisyys, että kaikki kolme korttia eivät ole kuvakortteja                        P({kolme ei-kuvakorttia}) = 1 000 : 2 197 * 0,46  ja vastatapahtuman todennäköisyys on                P({ainakin yksi kuvakortti)} = 1 - P({kolme ei-kuvakorttia}) = 1 - 0,46 = 0,54 > 0,50  joten kannattaa lyödä vetoa, että tulee vähintään yksi kuvakortti.  Jos joukossa on n alkiota, sen alkiot voidaan järjestää jonoon n! eri tavalla. n! tarkoittaa sitä, että kun valitaan  ensimmäinen alkio, meillä on valittavana n eri alkiota,  toisen valintaan meillä n-1 eri alkioita  ja niin edelleen aina viimeisen alkion valintaan saakka,  jolloin meillä on enää 1 alkio valittavana, joka voidaan laittaa jonon jatkoksi.  n! kutsutaan n:n kertomaksi, joka on n, n-1,...,2,1 tulo eli 4! = 4 × 3 × 2 × 1  Tuloperiaatteen perusteella n:n alkion järjestysten lukumäärä, jota kutsutaan permutaatioiksi, on                                      n! = n× (n-1) × ... × 2 × 1  Luvun 0 kertomaksi määritellään 0! = 1, koska 0-alkioisten joukon eli tyhjän joukon alkiolla on vain yksi järjestys.    1.3.2.Kuinka monella tavalla ? - järjestysten lukumäärä. Kotitehtävien tekeminen taululle. Opiskeljan ryhmässä on neljä poikaa ja kolme tyttöä. Kotitehtävien tekijät taululle arvotaan. Millä todennäköisyydellä kaikki pojat pääsevät ensin taululle ja tytöt sen jälkeen ? Ratkaisu 1.3.2. Alkeistapauksiksi valitaan kaikki taululle meno järjestykset eli  1. taululle menijälle on 7 vaihtoehtoa,  2. taululle menijälle 6 vaihtoehtoa,  ... ja  7. taululle menijälle on enää yksi vaihtoehto.  Järjestysten lukumääräksi saadaan siis 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3* 2 * 1 = 5 040, jotka kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todennäköisiä.  Suotuisia alkeistapauksia ovat ne, joissa pojat ovat ensin taululla ja sen jälkeen tulevat tytöt eli  1.taululle menijälle on 4 vaihtoehtoa (poika),  2.taululle menijälle 3 vaihtoehtoa (poika),  3.taululle menijälle 2 vaihtoehtoa (poika),  4.taululle menijälle 1 vaihtoehto,  5.taululle menijälle 3 vaihtoehtoa (tyttö),  6.taululle menijälle 2 vaihtoehtoa (tyttö) ja  7.taululle menijälle 1 vaihtoehtoa (tyttö).  Eli suotuisten järjestysten lukumääräksi tuloperiaatteen perusteella tulee                              4 * 3 * 2 * 1 * 3* 2 * 1 = 4! * 3! = 144  eli kysytty todennäköisyys                              P({pojat ensin ja sitten tytöt}) = (4! * 3!) : 7! = 144 : 5 040 * 0,029  1.3.3. Osajoukkojen lukumäärä. Bridge-illan kokoonpanot Bridge-iltaan on kutsuttu 8 henkilöä, mutta kahdelle kutsutulle tuli tärkeämpää tekemistä eivätkä siten päässeet peli-iltaan. Kerralla bridgepeliin voi osallistua 4 henkilöä, kuinka monta eri kokoonpanoa peliin saadaan mukaan?  Ratkaisu 1.3.3.  Valitaan pelaajat tulleiden 6 henkilön {a, b, c, d, e, f} joukosta  1.pelaajan vaihtoehtoja on 6 .  2.pelaajan valintaan mahdollisuuksia on 5,  3.kolmannen pelaajan valintaan 4 ja  4.pelaajan valintaan 3 vaihtoehtoa.  Kuuden henkilön ryhmästä voidaan muodostaa  6 * 5 * 4 * 3 = 360 erilaista neljän henkilön kokoonpanoa.  Eri kokoonpanot voivat muodostua samoista pelaajista eli samat pelaajat voivat tulla valituksi usealla eri tavalla esimerkiksi  a,b,d,e tai d,a,b,e tai e,d,b,a jne.  Samoista neljästä pelaajasta voidaan muodostaa järjestyksiä  4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 erilaista. Kokoonpanojen lukumäärä 360 on 24-kertaisena, joten erilaisten kokoonpanojen lukumäärä on  360 : 24 = 15. Tämä voidaan laskea käyttäen apuna binomikerrointa eli  1.3.4. Kuvakorttien todennäköisyys  Otetaan tavallinen 52 pelikortin pakka. Mikä on todennäköisyys, että ottamalla satunnaisesti  a) kortti, saadaan kuvakortti tai ässä, jota ei lasketa kuvakortteihin, b) kaksi korttia, saadaan kaksi ruutua tai kaksi ässää ?  Ratkaisu 1.3.4 a) kuvakortti tai ässä  Alkeistapauksia yhden kortin ottamiselle on 52 kappaletta. Suotuisia tapauksia, tapahtumalle joko kuvakortti tai ässä, on kuvakortille 12 ja ässälle 4. Koska ässiä ei lueta kuvakortteihin, suotuisia alkeistapauksia on n(suotuisat alkeistapaukset) = 12 + 4.  Tällöin todennäköisyys, että saadaan joko kuvakortti tai ässä, jota ei lueta kuvakortteihin on  b) kaksi ruutua tai kaksi ässää  Alkeistapauksia on nyt kaikki 52:sta kortista otetut 2 kortin jonot eli ensimmäinen kortti voidaan valita 52:sta kortista ja toinen kortti 51:sta kortista. Alkeistapauksia on kaikkiaan  Ruuduille suotuisia tapauksia ensimmäiselle kortille on 13 kappaletta eli se voidaan valita 13 ruutukortin joukosta ja toinen kortti voidaan valita loppujen 12 ruutukortin joukosta. Suotuisia alkeistapauksia on siis kaikkiaan  Ässeille suotuisia tapauksia ensimmäisellä kortilla on 4 ja toisella kortilla 3 eli  Korttipakkaan kuuluu myös ruutuässä, joka on sekä ruutu että ässä. Otettaessa suotuisiin tapauksiin mukaan kaikki ruudut ja kaikki ässät, tulee ruutuässä molempiin eli kahteen kertaan mukaan. Tällöin suotuisien alkeistapauksien joukosta on poistettava "toinen" ruutuässä. Todennäköisyys, että saadaan molemmilla korteilla ruutu tai molemmilla korteilla ässä, on todennäköisyys saada kaksi ruutua tai todennäköisyys saada molemmilla ässä poislukien yksi ruutuässä eli  Todennäköisyyslaskennan yhteenlaskusääntö on kahden tapahtuman A ja B tapauksessa  Kun tapahtumat ovat erillisiä eli tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia eli A:lla ja B:lla ei ole yhteisiä alkeistapauksia, niin poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännöksi saadaan  Yleisessä muodossa yhteenlaskusääntö erillisille tapahtumille on    1.3.5.Pysähtyminen liikennevaloissa  Kauppamatkalla on kolmet jalankulkijan liikennevalot, joissa on vain punainen ja vihreä valoa. Ensimmäisessä liikennevalossa punainen palaa 60 % ajasta, toisessa liikennevalossa punainen palaa 40% ajasta ja kolmannessa punainen palaa 70 % ajasta. Liikennevalot ovat toisistaan riippumattomia. Mikä on todennäköisyys, että  a) jalankulkija joutuu pysähtymään kaikissa kolmessa liikennevaloissa  b) jalankulkijan ei tarvitse pysähtyä kauppaan mennessä liikevaloihin  c) jalankulkija joutuu pysähtymään korkeintaan kerran liikennevaloissa  d) jalankulkija joutuu pysähtymään korkeintaan kaksi kertaa liikennevaloissa  Ratkaisu 1.3.5. a) Todennäköisyys joutua pysähtymään kaikissa  Koska liikennevalot toimivat toisistaan riippumattomasti, voidaan tapahtuman "kaikissa liikennevaloissa" todennäköisyys laskea kertolaskusäännön mukaan  b) Todennäköisyys ei joudu pysähtymään  Tapahtuman "ei joudu pysähtymään kertaakaan" tapahtuma vastaa tapahtumaa "kaikki liikennevalot ovat vihreällä" ja koska liikennevalojen toiminta oli riippumatonta toisista liikennevaloista, voidaan taas käyttää kertolaskusääntöä  c) Todennäköisyys joutuu pysähtymään korkeintaan kerran  Tapahtuma "korkeintaan kerran" koostuu kahdesta toisensa poissulkevasta tapahtumasta :  Yhteenlaskusäännön perusteella saadaan  "Ei kertaakaan" tapahtuman todennäköisyys on  "Kerran" tapahtuma muodostuu kolmesta toisensa poissulkevasta tapahtumasta  Yhteenlaskusäännön mukaan  d) Todennäköisyys joutuu pysähtymään korkeintaan kaksi kertaa  "Korkeintaan kaksi kertaa"- tapahtuma voidaan laskea sen vastatapahtumana oleva "kolme kertaa" avulla.   Ehdollinen todennäköisyys Ehdollista todennäköisyyttä tarvitaan silloin, kun tieto toisen tapahtuman esiintymisestä vaikuttaa tutkittavan tapahtuman todennäköisyyteen. Esimerkiksi, jos valitaan umpimähkään yksi maailman 4 miljardista ihmisestä, on todennäköisyys sille, että hän on suomalainen noin  1/1 000. Jos valinnan tapahduttua paljastetaan tieto, että valittu henkilö lukee juuri tätä monistetta, on todennäköisyys olla suomalainen olennaisesti suurempi. Ehdollistaja siis muuttaa perusjoukkoa. Kun tunnetaan tapahtuman A ja ehdollistajan B todennäköisyydet ja yhteistodennäköisyys, voidaan ehdollinen todennäköisyys laskea kaavasta  Kun kaavasta ratkaistaan P(A ja B), saadaan kertolaskusäännölle yleistys eli A:n ja B:n välistä riippumattomuutta ei tarvitse olettaa käytettäessä kaavaa  Riippumattomuus määritelläänkin ehdollisen todennäköisyyden avulla: Tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia, jos ja vain jos

Esimerkkejä todennäköisyysjakaumista

Esimerkki 1.

Heitetään kahta noppaa ja tutkitaan silmälukujen summan todennäköisyysjakaumaa, eli määrätään todennäköisyydet P(X=2), P(X=3), P(X=4),...,P(X=12), missä X on satunnaismuuttuja, joka ilmaisee noppien silmäluvun summan.

Nopat ovat erillisiä ja toisistaan riippumattomia, joten voidaan nimetä toinen noppa 1. nopaksi ja toinen noppa 2. nopaksi. Noppien silmäluvuista ja niiden summasta voidaan esittää taulukko, jossa vaakasuoraan esitetään 1. nopan tulos ja pystysuoraan 2. nopan tulos sekä ruudukon sisällä on silmälukujen summa.

Taulukossa on esitetty kaikki mahdolliset tulokset eli alkeistapausavaruus.

Kaikki silmälukuparit ovat yhtä todennäköisiä. Huomaa, että esimerkiksi pari {5,6} voidaan saada kahdella tavalla: 1. noppa on 5 ja 2. noppa on 6 sekä 1. noppa on 6 ja 2. noppa on 5, kun taas samat numerot voidaan saada vain yhdellä tavalla: esimerkiksi pari {5,5} voidaan saada vain siten, että 1. noppa on 5 ja 2. noppa on 5.

Symmetrisyyden perusteella saadaan määriteltyä nopanheiton silmäluvun todennäköisyysjakauma klassisen todennäköisyyden avulla: lasketaan suotuisten vaihtoehtojen määrä ja jaetaan se kaikkien vaihtoehtojen määrällä. Kaikkaan ruutuja taulukossa on 6*6 = 36, joka on kaikkien vaihtoehtojen määrä.

Todennäköisyysjakauma voidaan esittää myös vaakasuorana taulukkona.

Kertymäfunktio samasta jakaumasta saadaan summaamalla tiheysfuntion pistetodennäköisyyksiä, eli kaavalla

Kertymäfunktio

Todennäköisyysjakauman odotusarvo.

Tämä on tulkittavissa siten, että toistettaessa noppaparin heittoa, saadaan silmälukujen summan keskiarvoksi 7.
Esimerkkejä kuinka tiheys- ja kertymäfunktiota voidaan käyttää apuna todennäköisyyslaskuissa:

a) Millä todennäköisyydellä silmälukujen summa on 6, 7 tai 8 ?

f(6) + f(7) + f(8) = 5/36 + 6/36 + 5/36 = 16/36
tai P(5 < X < 9) = F(8) - F(5) = 26/36 - 10/36 = 16/36

b) Mitä silmälukua pienempiä on 1/3 tuloksista ?

Kun lasketaan kertymäfunktiosta murtoluvut likiarvoiksi saadaan
F(5) = 10/36 = 0.278 ja F(6) = 15/36 = 0.417. Kolmasosa 1/3 = 0.333.
Vastaukseksi saadaan, että 1/3 jakaumasta on alle 7.

Esimerkki 2

Kolme kenttäbiologia etsii rämeiköltä mäkihyppysammakoita toisistaan riippumattomasti. Mäkihyppysammakon havaitsemistodennäköisyys yhdellä kenttäbiologilla on 0.3. Määrää todennäköisyysjakauma sille, kuinka moni kenttäbiologi havaitsee mäkihyppysammakon.

Alkeistapausavaruus on {0,1,2,3} eli 0 vastaa sitä, että yksikään ei havaitse sammakkoa ja 3 vastaa sitä, että kaikki havaitsevat.

Nimetään havainnoitsijat kirjaimilla A, B ja C. Olkoon X satunnaismuuttuja, joka yhdistää havaitsijoiden lukumäärän vastaaviin todennäköisyyksiin.
P(X=0) = P{A ei havaitse ja B ei havaitse ja C ei havaitse}
= P{A ei havaitse}·P{B ei havaitse}·P{C ei havaitse}
= (1 - 0.3)(1-0.3)(1-0.3) = 0.73 = 0.343
P(X=1) = P{A havaitsee ja B ei havaitse ja C ei havaitse} + P{A ei havaitse ja B havaitsee ja C ei havaitse} + P{A ei havaitse ja B ei havaitse ja C havaitsee}
= 0.3·(1-0.3)·(1-0.3) + (1-0.3)·0.3·(1-0.3) + (1-0.3)·(1-0.3)·0.3 = 0.441
P(X=2) = 3 · 0.3 · 0.3 · (1-0.3) = 0.189
P(X=3) = 0.33 = 0.027
Kaikkien tapausten yhteenlaskettu todennäköisyys
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 0.343 + 0.441 + 0.189 + 0.027 = 1.
Todennäköisyysjakauman tiheysfunktiosta ja kertymäfunktiosta voidaan esittää seuraavat kuviot tiheysfunktiosta

ja kertymäfunktiosta

(pystyviivat eivät kuulu kuvioon!).

Jakauman odotusarvoksi saadaan

Tämä on tulkittavissa siten, että koetta toistettaessa havaitsijoiden lukumäärän keskiarvoksi saadaan 0.9.
 

Esimerkki 3
Tutkitaan koe-eläimen elinaikaa tutkimuksessa (esim. hyönteinen). Maksimielinaika on 1 tunti ja kuolemisen todennäköisyys on sama koko tutkimuksen ajan. Satunnaisesti poimitun koe-eläimen iän todennäköisyysjakauma on määrittelyn mukaan seuraavan kaltainen.
Määrätään a, kun tiedetään, että tiheysfunktion pinta-ala = 1 (eli kaikkien mahdollisuuksien yhteenlaskettu tn = 1). Kolmion pinta-alan kaavasta saadaan
(1 · a) / 2 = 1 <=> a = 2
Pisteiden (0,2) ja (1,0) kautta kulkevan suoran yhtälö on muotoa f(x) = 2 - 2x, joten tiheysfunktioksi saadaan

Kertymäfunktio määrittelyvälillä 0<x<1 saadaan tiheysfunktion integraalina:

Näet funktion graafisen estyksen klikkaamalla funktiota.
Elinajan odotusarvoksi saadaan

Odotusarvo on tulkittavissa koe-eläinten keskimääräiseksi eliniäksi.
 
 
 

Binomijakauma (diskreetti jakauma)

Heitetään rahaa. Tulosmahdollisuudet ovat kruuna ja klaava, joiden todennäköisyydet yhdessä heitossa ovat 0.5 ja 0.5. Toistetaan rahanheitto k kertaa ja mielenkiinnon kohteena on kuinka monta klaavaa saadaan.
Yhdessä heitossa (k=1) nollan klaavan tn=0.5 ja yhden klaavan tn=0.5.
Kahdessa heitossa (k=2) : aina heitoista saadaan 1/2 * 1/2 = 1/4
nolla klaavaa voidaan saada vain yhdellä tavalla: (kr, kr)
joten todennäköisyys on 1/4
yksi klaava voidaan saada kahdella tavalla: (kl, kr), (kr, kl)
joten todennäköisyys on 2/4 = 1/2
kaksi klaavaa voidaan saada vain yhdellä tavalla: (kl, kl)
joten todennäköisyys on 1/4
Kolmessa heitossa (k=3): edelleen 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8
nolla klaavaa saadaan vain yhdellä tavalla: (kr, kr, kr)
joten tn = 1/8
yksi klaava saadaan kolmella tavalla: (kl, kr, kr),(kr, kl, kr),(kr, kr, kl)
joten tn = 3 * 1/8 = 3/8
kaksi klaavaa saadaan kolmella tavalla: (kl, kl, kr),(kl, kr, kl),(kr, kl, kl)
joten tn = 3 * 1/8 = 3/8
kolme klaavaa saadaan yhdellä tavalla: (kl, kl, kl)
joten tn = 1/8
Kun merkitään p:llä onnistumisen todennäköisyyttä yhdessä toistokokeessa (rahanheitossa = 1/2) ja toistojen lukumäärää n:llä, saadaan kombinatoriikan perusteella binomijakauman tiheysfunktioksi

Huomaa, että binomijakaumassa onnistumisen todennäköisyyden ei tarvitse olla 0.5, vaan se saa olla mitä hyvänsä nollan ja yhden väliltä.
Binomijakauma toimii dikotomisten muuttujien mallina, kun tutkitaan esiintyykö jotain asiaa vai ei (esim. sairautta). Toistojen lukumäärää n vastaa havaintojen määrä ja arvioitavana on yhden henkilön sairastumisalttius p, kun otoksesta saatu sairaiden lukumäärä on k.
Binomijakauma on tilastotieteessä tärkein epäjatkuva jakauma. Muita epäjatkuvia teoreettisia jakaumia ovat mm. Multinomijakauma, Poissonjakauma, Hypergeometrinen jakauma ja Geometrinen jakauma.

Normaalijakauma(jatkuva jakauma)

Normaalijakauma ja siitä johdetut jakaumat ovat tärkeimmät tilastotieteessä käytetyt jakaumat. Hyvin monet asiat (muuttujat) luonnossa noudattavat normaalijakaumaa tai ainakin liki normaalijakaumaa. Satunnaismuuttujaa sanotaan normaalijakautuneeksi, jos sen tiheysfunktio on muotoa

 Todennäköisyyksiä laskettaessa jakauma on normitettava

Esimerkki.

Määritä jakaumalle N(5,1) todennäköisyys

Ilmoita vastauksesi 4 desimaalin tarkkuudella.

Ratkaisu

a) Todennäkösyys P(x <10)
muuntuu normeeratun jakauman todennäköisyydeksi muunnoskaavalla

b) Todetaan ensin,

josta se muuntuu muunnoskaavalla

Tästä saadaan suoraan laskimella tulokseksi

Jos joudutaan käyttämään taulukkoa, kirjoitetaan ensin

c) Kysytty todennäköisyys

muunnetaan ensin muunnoskaavalla

kertymäfunktion erotukseksi muotoon

Tälle saadaan suoraan laskimella arvo 0.0227.
Jouduttaessa käyttämään taulukkoa kirjoitetaan ensin

josta tulee vastaukseksi 0.0227 .
Normaalijakauma on muodoltaan yllä olevan näköinen, kun se on normitettu, eli odotusarvo = 1 ja keskihajonta = 0.
Tiheysfunktio on silloin

Koska sitä ei voida integroida alkeisfunktioiden avulla, arvot luetaan taulukosta tai laskimesta.
 

Esimerkki

Jakauma on muotoa N(0,1), eli normitettu normaalijakauma.

Ratkaisu
 

Kysytty todennäköysssys saadaan suoraan laskimesta, mutta taulukon käyttäjän osattava käyttää Gaussin käyrää apuna seuraavalla tavalla:
Piirretään käyrä ja varjostetaan sen ja x-akselin väliin jäävä alue

Todetaan, että alue välillä

Siis kysytty todennäköisyys saadaan siten,

eli luvusta yksi vähennetään kertymäfunktion arvo kohdassa 1, joka saadaan taulukosta. Tulokseksi saadaan

Vastaavalla tavalla lasketaan kaikki muutkin todennäköisyydet, jos joudutaan käyttämään taulukkoa.

Tiheysfunktiossa esiintyvä parametri m on normaalijakauman odotusarvo ja s2 sen varianssi. Normaalijakauman tiheysfunktiosta ei tarvitse käsin laskea arvoja, sillä standardoidun normaalijakauman kertymäfunktion arvoja ( F(z) = P(Z < z) ) on taulukoitu normaalijakaumaan perustuvaa päättelyä varten. Standardoidun normaalijakauman odotusarvo on m = 0 ja varianssi s2 = 1.
Muuttuja, joka noudattaa normaalijakaumaa parametrein m, s2, saadaan standardoitua, eli noudattamaan standardoitua normaalijakaumaa, muunnoskaavan

avulla, jossa uusi muuttuja Z noudattaa standardoitua normaalijakaumaa.

Tunnuslukuja (statistics)

Tunnusluvut ilmoittavat jonkin muuttujan ominaisuuden. Tunnusluvut voidaan jakaa keski-, hajonta- ja muihin tunnuslukuihin. Keskiluvut kuvaavat muuttujan jakauman sijaintia, hajontaluvut ilmoittavat jakauman "hajaantumisen" ja muut tunnusluvut tutkivat muita jakauman ominaisuuksia, kuten vinoutta ja huipukkuutta.
Mikäli havaintoaineisto on valmiiksi luokiteltu, lasketaan keskiarvoluokitellusta muuttujasta luokkakeskusten avulla (luokkakeskusten frekvensseillä painotettu keskiarvo):

missä  fi on luokan i frekvenssi ja ki saman luokan luokkakeskus sekä l on luokkien lukumäärä.
Vastaavasti geometrinen keskiarvo, joka voidaan laskea vain suhdeasteikon muuttujasta saadaan kaavasta

Mediaani (md) (median) voidaan määrätä suuruusjärjestykseen järjestetystä aineistosta. Mediaani on keskimmäinen havaintoarvo, eli arvo, jota suurempia ja pienempiä havaintoja on yhtä monta. Mikäli havaintoja on parillinen määrä, ei keskimmäistä havaintoarvoa ole olemassa. Tällöin mediaaniksi voidaan valita jompi kumpi keskimmäisistä havaintoarvoista tai näiden keskiarvo. Mediaania ei voida määritellä luokitteluasteikon muuttujasta.
Fraktiilit ovat prosenttisummafrekvenssin perusteella määrättyjä pisteitä jakaumasta. Mediaani on 50 %:n fraktiili. Fraktiili nimetään sen mukaan, kuinka monen osaan jakauma jaetaan, esimerkiksi

- kvartiilit 25 %, 50 % (mediaani) ja 75 %
- tertiilit 33.3 % ja 66.7 %
- kvintiilit 20 %, 40 %, 60 % ja 80 %
- desiilit 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80% ja 90%.

Hajontalukuja

Käytetyin hajontaluku on keskihajonta (standard deviation), joka ilmoittaa havaintoarvojen hajaantumisen keskiarvon ympärille. Seuraava kaava kertoo millainen tunnusluku keskihajonta on

Käsin laskettaessa keskihajonta on helpoin laskea siten, että ensin lasketaan havaintojen summa ja neliösumma ja nämä sijoitetaan seuraavaan kaavaan

Luokitellulle muuttujalle keskihajonta lasketaan korvaamalla havaintoarvot luokkakeskuksilla. Kun luokan i frekvenssiä merkitään fi:llä ja luokkakeskusta ki:llä, saadaan keskihajonta seuraavasta kaavasta:

Keskihajonta on järkevä hajontaluku vain välimatka- ja suhdeasteikon muuttujille.

Varianssi (variance) on keskihajonnan neliö s2.

Variaatiokerroin V = s / x on suhteellinen keskihajonta. Sillä saadaan eri suuruusluokkaa olevien muuttujien hajonnat vertailukelpoisiksi. Variaatiokerroin voidaan laskea vain suhdeasteikon muuttujille.

Keskiarvon keskivirhe (standard error of mean) kuvaa keskiarvon luotettavuutta. Käytetään usein keskiarvokuvioissa ja taulukoissa. Keskivirheen käsite liittyy estimointiin.

Vaihteluvälin pituus on suurimman havaintoarvon ja pienimmän havaintoarvon välinen erotus. Jos suuruusjärjestykseen asetettua havaintoaineistoa merkitään x(1), x(2),...,x(n), saadaan vaihteluvälin pituudelle kaava d = x(n) - x(1).
 

Vaihteluväli (range) voidaan esittää jo järjestysasteikon muuttujasta. Tällöin ilmoitetaan suurin ja pienin
havaintoarvo R = (x(1) , x(n)).
 
 
 

HARJOITUSTEHTÄVIÄ
 

1.Suoran y = kx - 2 kulmakerroin määritetään nopanheitolla. Millä todennäköisyydellä suora kohtaa

2. Piste S valitaan sattumanvaraisesti ympyränsektorista, jonka keskuskulma on 120 astetta. Millä todennäköisyydellä se tulee valittua ko. sektorin sisään piirretystä ympyrästä ?

3. Aloitteleva mäkihyppääjä kaatuu keskimäärin joka kymmenennen hyppynsä. Hän hyppää kuusi harjoitushyppyä. Millä todennäköisyydellä hän kaatuu ainakin kerran ?

4. Ryhmän 20 opiskelijasta vain 16 on laskenut tietyn kotilaskun. Opettaja valitsee arpomalla 3 laskijaa. Millä todennäköisyydellä mukaan tulee ainakin yksi, joka ei ole laskenut tuota tehtävää ?

5. Kolme ruotsinkielistä ja viisi suomenkielistä kirjaa asetetaan kirjahyllyyn. Kuinka monella eri tavalla kirjat voidaan asettaa hyllyyn, kun vaatimuksena on se, että samankielisten on oltava vierekkäin ?

6. Kuinka monella eri tavalla 9 videokasettia voidaan laittaa kirjahyllyyn, kun tietyt kaksi kasettia eivät saa joutua
vierekkäin ?

7. Monivalintakokeessa 12 kysymystä, joista kussakin on neljä eri vaihtoehtoa ja yksi vaihtoehto on oikea. Hyväksyttyyn suorituksen vaaditaan vähintään puolet oikein. Opiskelija tietää vastauksen varmuudella neljään kysymykseen, mutta muut hän joutuu arvaamaan. Laske tn, että hän selviytyy tentistä.

8. Olkoon z:lla jakauma N(0,1). Laske
' ' .

10. Älykkyysosamäärällä on jakauma N(100,152). Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun henkilön älykkyysosamäärä on välillä [91,121] ?

11. Falunissa 50 km hiihtokilpailu noudatti likimain normaalijakaumaa odotusarvolla 2 t 30 min ja keskihajonnalla 10 min. Millä todennäköisyydellä hiihtäjältä kuluu aikaa a) vähintään 2 t 50 min ? b) enintään 2 t 20 min ?

12. Normaalijakauman varianssi on 6.25 ja odotusarvo 8. Määritä a,

13. Oletetaan, että eräässä kunnassa syntyy ensi vuonna 60 lasta. Lasten sukupuolet ovat toisistaan riippumattomia,
ja pojan syntymistodennäköisyys on 0,513.
Mitä jakaumaa tyttöjen ja poikien lukumäärät noudattavat ?
Mikä on poikien ja mikä tyttöjen lukumäärän odotusarvo ?
Millä todennäköisyydellä syntyy täsmälleen yhtä monta tyttöä ja poikaa ?
(Yo K99).
 
 

14. Erään jakauman tiheysfunktio on määritelty siten, että

a) Mikä jakauma on kyseessä ?
b) Määritä K
c) Laske varianssi
d) Määritä jakauman kertymäfunktio.
 
 
 

15. Piilastuja valmistetaan tehtaassa, jolloin todennäköisyys,
että tuote on viallinen on 15 %. Tehdas valmistaa 800 piilastua.
Millä todennäköisyydellä alle 105 lastua on viallisia ?
Käytä normaalijakaumaa arvioidessa binomijakaumaa siten,
että eli normaalijakaumalle saadaan,

Parametrit n, p ja q ovat binomijakaumasta.
Ilmoita vastauksesi prosentteina yhden desimaalin tarkkuudella.
 

16. Espanjankielen kuuntelukokeessa jokaisella kysymyksellä
on neljä vastausvaihtoehtoa, joista vain yksi on oikea.
Yhden kysymyksen sanamuoto on niin epäselvä,
että kokelas joutuu arvaamaan.
Millä todennäköisyydellä enintään puolet kokelaista arvaa oikein tämän kysymyksen kohdalla ?
Tenttiin osallistuu kuusi opiskelijaa.
 

17.
 
 

VASTAUKSIA

1. Suoran ja paraabelin yhteiset pisteet löytyvät yhtälöparista,
joten muodostetaan ensin yhtälöpari

Sijoitusmenetelmän käyttö tuottaa

Tällä on yksi tai kaksi ratkaisua,

Tämän ratkaisu on

Nopan pisteluvuista voivat tulla kysymykseen 3, 4, 5 tai 6.
Siis kysytty todennäköisyys on

 

2: Sektorin ala on

Sektorin sisään piirretyn ympyrän säteen laskemiseksi käytetään erikoiskolmiota oheisen kuvion mukaisesti. Silloin saadaan yhtälö

josta sektorin sisään piirretyn ympyrän säteeksi tulee

Tämä sievenee laventamalla

Sisään piirretyn ympyrän ala on silloin

Kysytty todennäköisyys on nyt klassisen todennäköisyyden kaavan mukaisesti
(Voidaan puhua myös geometrisesta todennäköisyydestä.)

Tämä supistuu muotoon

josta saadaan laskimella 3-desimaalinen likiarvo P = 0.646.
 
 
 
 

3. Kaatumistodennäköisyys on

Sana "ainakin" viittaa komplementtisäännön käyttöön. Komplementtitapaus on se, ettei hän kaadu lainkaan.
Tämän todennäköisyys kuuden hypyn sarjassa on

Kysytty todennäköisyys on silloin

 
 

4. Sana "ainakin" viittaa komplementtisäännön käyttöön.
Komplementtitapaus on se, että kaikki ovat laskeneet tehtävän.
Kolme laskijaa voidaan valita 16:sta

Kolme laskijaa valitaan 20:stä
  
Siis komplementtitapauksen todennäköisyys on

Laskimella tämän arvoksi tulee

Kysytty todennäköisyys on silloin

5. Kolme kirjaa voidaan permutoida 3! ja viisi kirjaa 5! eri tavalla. Yksi suotuinen sarja (kuvio) voidaan permutoida 3!5! eri tavalla.

Suotuisia sarjoja on 6 kpl. Sen voi päätellä esim. siten, että siirretään suomenkielisiä yksitellen ruotsinkielisten oikealle puolelle. Näin ollen kaikkia mahdollisia tapoja järjestää kirjat vaaditulla tavalla
on yhteensä 6*3!*5! = 4320
 

6. Kaikki 9 kasettia voidaan permutoida 9! eri tavalla. Edellisen tehtävän mukaisesti kasetit voidaan järjestää vierekkäin

                                                                      8*2!*7!  eri tavalla siten,

että tietyt kaksi ovat aina vierekkäin. Mutta näin ei saanut olla, joten kysyttyjä tapoja on

                                                                     9! - 8*2!*7! = 282240 kpl.
 

7. Opiskelijan on saatava vähintään 6 oikeaa vastausta, joista jo 4 on varmoja. Hänen on siis tiedettävä vähintään 2 oikein aikaisempien oikeiden lisäksi. Sana "vähintään" johtaa käyttämään komplementtisääntöä. Vaaditun tapauksen komplementti on se, että opiskelija saa neljän oikean lisäksi 0 tai 1 oikein vastatessaan jäljellä olevaan 8 kysymykseen. Tämän todennäköisyyden laskemiseksi käytetään binomitodennäköisyyden kaavaa ja saadaan

Tämä sievenee nopeasti muotoon

josta laskin antaa likiarvoksi 0.3671. Siis kysytty todennäköisyys on P = 1 - 0.3671 = 0.6329. Vastaus on siis 3:lla desimaalilla P = 0.633.
 

8. a) Tarkastellaan Gaussin käyrää

 Viivoitettu alue on tasan puolet koko alueesta, jonka ala on =1,

kuten laskin tai taulukko antaa arvoksi.

on komplementti todennäköisyydelle

 

10. Kysytty todennäköisyys

voidaan kirjoittaa normeeratun jakauman avulla muotoon

Tälle saadaan laskimella arvo 0.6449.
Jos joudutaan käyttämään taulukkoa, kirjoitetaan erotus

ensin muotoon

eli tästä edelleen muotoon

Käyttämällä taulukkoa päädytään 3-desimaaliseen vastaukseen P = 0.645.
 
 

11. Olettamustiedot minuutteina

12. Keskihajonta on

joten jakauma on tyyppiä N(8, 2.5).


Etsitään ratkaisua yhtälölle

laskimen avulla. Silloin oltava

13. Kyseessä on binomijakauma Bin(n, p), joka on poikien tapauksessa Bin(60, 0.513) ja tyttöjen Bin(60, 0.487).

 eli poikien määrän odotusarvo on

Vastaava tyttöjen määrän odotusarvo on

Tyttöjä ja poikia syntyy yhtä monta, jos poikia syntyy 30. Tämä lasketaan binomitodennäköisyyden kaavalla ja saadaan

Laskin antaa vastaukseksi kolmella desimaalilla P = 0.101.
 
 
 
 

14. a) Kyseessä on tasainen jakauma,
joka on erikoistapaus jatkuvasta jakaumasta.

b) Koko nollasta eriävä tapausavaruus rajoittuu

Siis suoran y = K alle jäävän suorakaiteen pinta-alan tulee olla = 1,

josta saadaan K = 2.

c) Varianssi on kaavan mukaan

eli tässä tapauksessa on

on tasaisella jakaumalla välin keskikohta,

Kun integraali lasketaan, tulee

josta saadaan

d) Kertymäfunktio on

eli tässä tapauksessa

Integroinnin jälkeen on F(x) = 2x. Kysytty kertymäfunktio koko tapausavaruudessa on

15. Kyseessä on binomijakauma, mutta kysytyn todennäköisyyden laskeminen olisi tavattoman työlästä. Onneksi binomijakaumaa voidaan likimääräisesti arvioida (approksimoida) tehtävässä kerrotulla tavalla.
Lasketaan ensin binomijakauman odotusarvo ja keskihajonta.
Suoraan kaavoja käyttämällä saadaan

Kysytyn todennäköisyyden laskemiseksi käytetään normaalijakaumaa

Tässä tapahtuu kyseinen approksimointi. Lasketaan siis todennäköisyys

Siirtymällä normeerattuun jakaumaan voidaan kirjoittaa

josta laskin antaa tulokseksi

Siis 6.9 % todennäköisyydellä piilastu on viallinen.
 
 
 
 
 

16.. Enintään puolet opiskelijoista tarkoittaa tässä sitä,
että heitä on 0, 1, 2 tai 3. On syytä käyttää komplementtisääntöä,
jolloin väärin arvanneita opiskelijoita on 4, 5 tai 6.
Kysymyksessä on toistokoe,
joten käytetään binomitodennäköisyyden kaavaa. Kysytty tn on

Tämä sievenee ensin muotoon

josta saadaan edelleen

17.

V