LINEAARINEN YHTÄLÖRYHMÄ

edellinen seuraava Hakemisto Tehtäviä

2.1. Lineaarisen yhtälöryhmän matriisiesitys

Jos A on säännöllinen, niin

Mielivaltainen lineaarinen yhtälöryhmä

Voidaan esittää matriisiyhtäln muodossa. Matriisia

kutsutaan ryhmän (LR) kerroinmatriisiksi. Kun tuntemattomista x₁ ,...., x_n ja vakioista b₁ ,... , b_nmuodostetaan pystyvektori

niin havaitaan, että yhtälöryhmä (LR) on yhtäpitävä matriisiyhtälön

(M) AX = B

kanssa

Jos kerroinmatriisi A on neliömatriisi eli jos tuntemattomia on yhtä monta kuin yhtälöitä, niin A:n olleessa säännöllinen on

edellinen seuraava Hakemisto Tehtäviä

edellinen seuraava Hakemisto

2.2 Ratkaiseminen vaakarivimunnoksilla

Gaussin elimminointi menettelyssä kerroinmatriisi muuntuu porasmuotoon. Jos tarvittavat alkeismuunnosmatriisit ovae E₁, E₂, ..., E_n ja merkitään E = E_nE_n-₁ ... E_n , niin E on säännölliinen ja siis on

AX = B

Toisin sanojen kohdistamalla samat muunnokset sekä kerroinmatriisin että pystyvektoriin B yhtälöryhmän matriisiesitys muuntuu muotoon, josta lopullinen yhtälöryhmän ratkaiseminen tapahtuu suoraviivaisesti ryhmän alimmasta yhtälöstä lähtlen.

Jos yhtälöryhmän kerroinmatriisi on neliömatriisi eli yhtälöiden ja tuntemattomien lukumäärät ovat samat, niin kerroinmatriisin porrasmuodolla on kaksi mahdollisuutta: joko nollasta eriävä tai se on nolla. Ensin mainitussa tapauksessa päädytään yksikäsitteiseen ratkaisuun ja jälkimmäisessä tapauksessa joko ratkaisua on ääretön määrä tai niitä ei ole lainkaan.

Lause: Jos yhtälöryhmän

AX = B

kerroinmatriisi on neliömatriisi, niin yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu silloin ja vain silloin kun

eli täsmälleen silloin, kun A on säännöllinen.
edellinen seuraava Hakemisto

edellinen Hakemisto Tehtäviä

2.3 Pienimmän neliösumman ratkaisu

X on yhtälön

AX = AB

pienimmän neliösumman ratkaisu täsmälleen sillon, kun X on yhtälön

A^TAX = A^TB

ratkaisu.

Yhtälöä A^TAX = A^TB kutsutaan pienimmän neliösumman ongleman AX = B normaaliyhtälöksi.

Jos matriisi A^TA on säännöllinen, niin pienemmän neliösumman ratkaisu on yksikäsitteinen ja se on

X = (A^TA)^-¹A^TB.
Jos matriisi A^TA ei ole säännöllinen, niin normaaliryhmän äärrettömän monta ratkaisuja
ovat kaikki mahdolliset pienimmän neliösumman ratkaisut.