LINEAARIAVARUUDET

edellinen seuraava Hakemisto

3.1. Lineaariavaruus

Lineaariavaruus eli vektoriavaruus on joukko alkioita, jotka toteuttavat lineaariavaruuden aksiomat.

Joukkoa E kutsutaan reaalikertoimiseksi (kompleksikertoimiseksi) lineaariavaruudeksi eli vektoriavaruudeksi, jos seuraavat aksiomat ovat täytetyt:

3.2. Aliavaruus

H on itsekin lineaariavaruus, jota kutsutaan E:n aliavarruudeksi. Jokaisella lineaariavaruudella on aliavaruuksia, sillä pelkään nollavektorin muodostama joukko ja koko E ovat jokatapauksessa E:n aliavaruuksia. Jos H on E:n aliavaruus, joka ei ole kumpikaan edellä mainitusta triviaaleista aliavaruuksista, niin sanotaan, että H on E:n aito aliavaruus.

edellinen seuraava Hakemisto Tehtäviä

3.3. Lineaarinen riippumattomuus

Määritelmä: Lineaariavaruuden E vektoreiden u₁, u₂, ..., u_n sanotaan olevan lineaarisesti riippuva, jos on olemassa skalaarit

Joista ainakin yksi on nollasta eroava ja joille on

Jos vektorit eivät ole lineaarisesti riippuva niiden sanotaan olevan lineaarisesti riippumattomia.

Yleisesti vektorit ja muodostavat 2-uloteisen tason kanssa . Edellytys tälle on se, että ja ovat lineaarisesti riippuvat, eli vektoreita ei voi lausua toistensa avulla eli