Nikolai Barminin kotisivu

Edel Hakemisto

Harjoitustehtäviä. Jakaumat

8. Olkoon z:lla jakauma N(0,1). Laske

Ratkaisu
a) Tarkastellaan Gaussin käyrää

Viivoitettu alue on tasan puolet koko alueesta, jonka ala on =1,

kuten laskin tai taulukko antaa arvoksi.

on komplementti todennäköisyydelle

Edel Hakemisto

10. 10. Älykkyysosamäärällä on jakauma N(100,152). Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun henkilön älykkyysosamäärä on välillä [91,121] ?

Ratkaisu

10. Kysytty todennäköisyys

voidaan kirjoittaa normeeratun jakauman avulla muotoon

Tälle saadaan laskimella arvo 0.6449.
Jos joudutaan käyttämään taulukkoa, kirjoitetaan erotus

ensin muotoon

eli tästä edelleen muotoon

Käyttämällä taulukkoa päädytään 3-desimaaliseen vastaukseen P = 0.645.

Edel Hakemisto

11. 11. Falunissa 50 km hiihtokilpailu noudatti likimain normaalijakaumaa odotusarvolla 2 t 30 min ja keskihajonnalla 10 min. Millä todennäköisyydellä hiihtäjältä kuluu aikaa a) vähintään 2 t 50 min ? b) enintään 2 t 20 min ?

Ratkaisu

Olettamustiedot minuutteina

Edel :Hakemisto

12. Normaalijakauman varianssi on 6.25 ja odotusarvo 8. Määritä a,

Ratkaisu

Keskihajonta on

joten jakauma on tyyppiä N(8, 2.5).

Etsitään ratkaisua yhtälölle

laskimen avulla. Silloin oltava

Edel Hakemisto

13. Oletetaan, että eräässä kunnassa syntyy ensi vuonna 60 lasta. Lasten sukupuolet ovat toisistaan riippumattomia,
ja pojan syntymistodennäköisyys on 0,513.
Mitä jakaumaa tyttöjen ja poikien lukumäärät noudattavat ?
Mikä on poikien ja mikä tyttöjen lukumäärän odotusarvo ?
Millä todennäköisyydellä syntyy täsmälleen yhtä monta tyttöä ja poikaa ?
(Yo K99).

Kyseessä on binomijakauma Bin(n, p), joka on poikien tapauksessa Bin(60, 0.513) ja tyttöjen Bin(60, 0.487).

eli poikien määrän odotusarvo on

Vastaava tyttöjen määrän odotusarvo on

Tyttöjä ja poikia syntyy yhtä monta, jos poikia syntyy 30. Tämä lasketaan binomitodennäköisyyden kaavalla ja saadaan

Laskin antaa vastaukseksi kolmella desimaalilla P = 0.101.

Edel Hakemisto

14. Erään jakauman tiheysfunktio on määritelty siten, että

a) Mikä jakauma on kyseessä ?
b) Määritä K
c) Laske varianssi
d) Määritä jakauman kertymäfunktio.

a) Kyseessä on tasainen jakauma,
joka on erikoistapaus jatkuvasta jakaumasta.

b) Koko nollasta eriävä tapausavaruus rajoittuu

Siis suoran y = K alle jäävän suorakaiteen pinta-alan tulee olla = 1,

josta saadaan K = 2.

c) Varianssi on kaavan mukaan

eli tässä tapauksessa on

on tasaisella jakaumalla välin keskikohta,

Kun integraali lasketaan, tulee

josta saadaan

d) Kertymäfunktio on

eli tässä tapauksessa

Integroinnin jälkeen on F(x) = 2x. Kysytty kertymäfunktio koko tapausavaruudessa on

Edel Hakemisto

15. Piilastuja valmistetaan tehtaassa, jolloin todennäköisyys,
että tuote on viallinen on 15 %. Tehdas valmistaa 800 piilastua. Millä todennäköisyydellä alle 105 lastua on viallisia ?
Käytä normaalijakaumaa arvioidessa binomijakaumaa siten,että eli normaalijakaumalle saadaan,

Parametrit n, p ja q ovat binomijakaumasta.
Ilmoita vastauksesi prosentteina yhden desimaalin tarkkuudella.

Ratkaisu

Kyseessä on binomijakauma, mutta kysytyn todennäköisyyden laskeminen olisi tavattoman työlästä. Onneksi binomijakaumaa voidaan likimääräisesti arvioida (approksimoida) tehtävässä kerrotulla tavalla.
Lasketaan ensin binomijakauman odotusarvo ja keskihajonta.
Suoraan kaavoja käyttämällä saadaan

Kysytyn todennäköisyyden laskemiseksi käytetään normaalijakaumaa

Tässä tapahtuu kyseinen approksimointi. Lasketaan siis todennäköisyys

Siirtymällä normeerattuun jakaumaan voidaan kirjoittaa

josta laskin antaa tulokseksi

Siis 6.9 % todennäköisyydellä piilastu on viallinen.

Edel Hakemisto