Edel: Hakemisto

Todennäköisyys

Virheettömät arpakuutiot

Esimerkki 1
1.2.1. Yhden silmäluvun todennäköisyys Kun arpakuutiota heitetään kerran, mikä on todennäköisyys, että heiton tuloksena saadaan viisi?

Ratkaisu.
Alkeistapauksia on kuusi ("heiton tulos 1" ,"heiton tulos 2",..)
Koska arpakuutio oli virheetön, niin jokaisen alkeistapauksen todennäköisyys on 1/6 eli P({5}) = 1/6.

Esimerkki 2
1.2. 2. Kahden arpakuution heitto. Kun heitetään kahta arpakuutiota, niin mikä on todennäköisyys, että saadaan pari ?

Ratkaisu .
Kahden arpanopan heitossa mahdolliset alkeistapaukset laitetaan taulukoon siten , että rivillä on toisen arpanopan alkeistapaukset ja sarakkeissa vastaavasti toisen nopan alkeistapaukset.

Alkeistapauksia on nyt 6*6=36. Suotuisia tapauksia eli sellaisia tapauksia, missä arpanoppien silmäluvut ovat samat on (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) ja (6,6) kuusi kappaletta. Todennäköisyys, että saadaan kahdella nopalla pari on siis P({pari})= 6/36 = 1/6

Pelikorttipakka. Nostetun kortin todennäköisyys

Esimerkki 3

Pelikorttipakassa on 52 korttia, jotka on jaettu neljään maahan: hertta, pata, risti ja ruutu. Jokaisessa maassa on kolmetoista korttia, jotka ovat numerokortit
A=1, 2,3,4,5,6,7,8,9 ja 10 sekä kolme kuvakorttia J=11, Q=12 ja K=13.

Pakasta nostetaan kortti, mikä on todennäköisyys, että nostettu kortti on

a) kuningas eli K

b) hertta kuningatar " Q

c) pistearvoltaan suurempi kuin 10

d) pistearvoltaan pienempi tai yhtäsuuri kuin 10

Ratkaisu
Alkeistapauksia korttipakassa on 52 kappaletta.

a) kuninkaita pakassa on neljä, joten P({K}) = 4/52 = 0,077

b) herttakuningatarta on yksi, joten P({ª Q }) = 1/52 = 0,019

c) pistearvoltaan suurempia kuin 10 ovat kuvakortit neljästä maasta 4*3 = 12, joten, P({>10}) = 12/52 = 0,23

d) pistearvoltaan pienempiä tai yhtäsuuria kuin 10 on edellisen tapahtuman komplementti- eli vastatapahtuma eli P({ *10}) = 1-P({>10}) = (52-12) / 52 = 40 / 52 = 1 - 0,23 = 0,77

Tilastollinen todennäköisyys

Esimerkki 4

Syntyvän lapsen sukupuoli. Kuinka voidaan laskea syntyvän lapsen sukupuolen todennäköisyys, kun tapahtuma ei ole symmetrinen?

Ratkaisu . Syntyvän lapsen sukupuoli voitaisiin määrittää klassisen todennäköisyystulkinnan avulla. Silloin otosavaruus koostuisi kahdesta alkeistapauksesta {tyttö} ja {poika}, joiden todennäköisyydet ovat yhtäsuuret P({tyttö}) = P({poika}) = 1/2. Mutta todellisuudessa syntyvän lapsen sukupuoli ei ole symmetrinen tapahtuma, vaan poikia syntyy enemmän kuin tyttöjä - suomalaisten syntyvien lasten sukupuolijakauma on: tyttöjä noin 49% ja poikia 51%. Tällaisessa tapauksessa todennäköisyyden määrittäminen tehdään todennäköisyyden frekvenssitulkinnan avulla. Tätä tapaa kutsutaan myös tilastolliseksi todennäköisyydeksi. Suomen syntyvyystilaston mukaan syntyneiden lasten sukupuolijakaumat vuosina 1990-97 olivat (Suomen tilastollinen vuosikirja ,1998)

Yksittäisen vuoden kohdalla tyttöjen osuus vaihtelee 48,71%:sta 49,19%:een. Kun vuodet yhdistetään niin saadaan tyttöjen osuudeksi 48,98%, mikä vastaa suurten kansainvälisten tutkimusten mukaisesti syntyneiden tyttöjen osuutta eli Suomessa vuosina 1990-97 poikien syntyvyysenemyydeksi saadaan (510 851 - 250 227) : 250 227 = 260 624 / 250 227 * 1,042 eli 1 042 poikaa syntyy jokaista 1 000 tyttöä kohti.

Edel: Hakemisto