Matriisit
Peruskäsitteitä ja merkintöjä

edellinen seuraava Hakemisto

Matriisin määritelmä

Reaali- tai kompleksiluvuista muodostettua, vaaka- ja pystyriveiksi järjestrttyjä lukujoukkoa

kutsutaan matriisiksi.

Esimerkki:

A on matriisi, jossa on 3 riviä ja 4 sarakkeetta, eli A on 3x4 matriisi.

edellinen seuraava Hakemisto

1.1. Vaakavektori. Pystyvektori.

Tyyppia 1 x n olevaa matriisia

sanotaan vaakavektoriksi ja tyyppiä nx1 olevaa matriisia

pystyvektoriksi.

edellinen seuraava Hakemisto

1.1. Yksikkömatriisi

Tyyppia n x n olevaa matriisia sanotaan neliömatriisiksi.

Matriisia, jonka kaikki alkiot ovat nollia, sanotaan nollamatriisiksi. Nollamatriisia merkitään symbolilla 0 . Esimerkiksi matriisit:

ovat nollamatriiseja.

Neliömatriisia, jonka päälävisttäjällä olevat alkiot ovat kaikki ykkösiä ja muut ovat nollia, sanotaaaan ykkösmatriisiksi.
Esim:

edellinen seuraava Hakemisto

1.2. Matriisioperaatiot

Summa. Luvulla kertoimen

Kahden samaa tyyppiä olevan matriisin summalla tarkoitetaan mayriisia, jonka alkiot ovat yhteenlaskettavien matriisien vastinalkioden summat. Jos matriisit A ja B ovat samaa tyyppiä pxn, niin summalla Ax B tarkoitetaan pxn matriisia, jonka alkiot ovat

Matriisin kertoimen skalaarilla

missä

Tehtäviä

edellinen seuraava Hakemisto Tehtäviä

1.2. Matriisioperaatiot

Matriisitulo

Tuloilla AB tarkoitetaan p x q-matriisia, jonka alkiot ovat

missä

Tulon AB määritelmä siis edelyttää, että A:n pystyrivien lukumäärä on sama kuin vaakarivien lukumäärä. Seuraava kaavio havainnollistaa matriisien tyyppejä koskevaa määritelmän sisältöä:

edellinen seuraava Hakemisto Tehtäviä

edellinen seuraava Hakemisto

1.2. Matriisioperaatiot

Transponointi

A:n transportpotulla matriisilla eli transpoisilla

tarkoitetaan n x p- matriisia, jonka alkiot ovat

Lause: Jos a ja B ovat matriiseja ja on skaalari, nin on

Tehtäviä

edellinen seuraava Hakemisto Tehtäviä

1.3. Käänteismatriisi

Jos on olemassa matriisi B siten että,

AB = BA = 1;

nin sanotaan, että B on A:n kääntesmatriisi

Lause: Jos matriisilla on käänteismatriisi, niin se on yksikäsitteinen

Matriisin A kääntesmatriisia merkitään Toisin sanojen on voimassa

Jos matriisilla A ei ole käänteismatriisia, niin sanotaan, että A on singularinen

Lause: Jos A on neliömatriisi ja on olemassa B siten , että BA = 1, niin tällöin on myös AB = 1.

Kääntesmatriisin ominaisuuksia

Vaakarivimuunnokset ja käänteismatriisi

edellinen seuraava Hakemisto

edellinen seuraava Hakemisto Tehtäviä

1.4. Determinantti

Kaksirivinen determinantti määritellään yhtälöllä

ja kolmivärinen determinantti yhtälöllä

missä D₁₁, D₁₂, ja D₁₃ ovat alkioiden a₁₁, a₁₂ ja a₁₃ alidetermenantit eli

Toisin sanojen alkion a_1i alideterminantti D_1i saadaan poistamalla alkuperaisestä determinantista ne vaaka- ja pystyrivit, joilla a1i sijaitsee.

Jokaisen neliömatriisin A liittyy luonnolisella tavalla matriisin determinantti det A. Toisin sanojen, jos

nin

Alkion a_ij alideterminantilla D_ijtarkoitetaan sitä (n-1)-rivistä determinanttia, joka saadaan, kun A:sta poistetaan i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi.
edellinen seuraava Hakemisto Tehtäviä

edellinen Hakemisto Tehtäviä

1.5. Käänteismatrisin olemasssaolo

edellinen Hakemisto Tehtäviä